一般的にサーバーの移行（移転）、つまり今まで使っていたドメインを別のサーバーに移す場合、
- （新しいサーバーの契約）
- 新サーバーでのドメインの設定申し込み
- 旧サーバーから新サーバーへのホームページのコピー（FTPなどを使用）
- データベースを使っていれば
旧サーバーから新サーバーへのデータベースのコピー（PHPMyAdminなどを使用）
必要があれば、データベースの情報を書き込んだコンフィグファイルなどを書き換えてアップロード - 新サーバーでのメールアカウントの作成＆メールを利用しているパソコンに新サーバーのアカウントの追加
（変更でなく追加） - 必要があればその他ソフトウェアなどの新サーバーへのインストール
（旧サーバーと同じように使うための新サーバの環境構築） - ネームサーバー情報の切り替え
- （旧サーバーの 解約）
のような作業の流れになります。
マルチドメインでドメインを追加する場合も、新サーバーの契約が必要ないだけで、同じような流れになると思います。
上記の 1. と 2. が終わって、Wordpress情報を移行しようとする場合には、一般には、「サーバー移転 手動でWordPressを移転する」で書いたように、ファイル類をFTPでアップして、データベースを新サーバーにインポートするというような、上記の 3. と 4. の作業が必要になります。
最近は、便利なプラグインもあり、そちらを使う方が多いかもしれません。（2019/5/7追記）
エックスサーバー
や ConoHa WING
のように「Wordpress 簡単移行」機能が使えるサーバーであれば、この機能を使って、必要事項を入力するだけで、上記の 3. と 4. は自動的に行ってくれるので、とても簡単にコピー作業を行うことができます。
（XSERVER はベータ版です）（2019/5/7削除）
そして、ほとんどのサーバーでは、ドメインのサーバーを切り替える前（上記「7. ネームサーバー情報の切り替え」を行う前）に、アップロードした内容に問題がないかを確かめるための方法として、「動作確認URL」のような仮のURLを用意しています。
ただ、WordPressなどのように、ドメインが違ってしまうと管理画面にアクセスできなかったり、画像やリンクなど旧サーバーにアクセスしてしまったりするような場合については、この方法ではうまくいきません。
ほとんどの場合、ドメインの切り替え前の新サーバーを見に行けるように、パソコン側の設定を変えて対応することになります。それが「HOSTSの書き換え」になります。
詳しくは「hostsの書き方（ドメイン移行前のページを確認する方法）」の記事で。
プログラムで管理したり表示させたりするものなので、移行直後に表示できなかったりしたら冷や汗ものなので・・・。